Blogos.gr

Περισσότερες Πληροφορίες

• Πλήρης Τίτλος: Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών
• Διεύθυνση: http://diadiktyomathphys.wordpress.com
• Τελευταίες αναρτήσεις:
  • Σχόλιο στο Σύνολα και μέτρα, σχεδόν… από george
    Μαρτίου 14, 2012
    
    Θεωρούμε το σύνολο $latex F= \cup \{A \in P_{E}: f(A) = 0 \}$. Επειδή το $latex E$ είναι πεπερασμένο, θα είναι και το $latex P_{E}$ πεπερασμένο. Τα υπόλοιπα τώρα έπονται εύκολα…

    
    george

  • Σχόλιο στο Άσκηση 20 από george
    Μαρτίου 14, 2012
    
    Πάλι πρόβλημα…Εγκαταλείπω…

    
    george

  • Σχόλιο στο Άσκηση 20 από george
    Μαρτίου 14, 2012
    
    Ξαναγράφω τη λύση ώστε να εμφανίζεται σωστά. Η μοναδικότητα έπεται από το γεγονός ότι η συνάρτηση $latex f(x) -x$ είναι γνησίως φθίνουσα. Για την ύπαρξη, υποθέτουμε αντιθέτως ότι η $f$ δεν έχει σταθερό σημείο. Τότε, λόγω συνέχειας και από θ. Bolzano, θα έχουμε είτε $latex f(x) > x$, για κάθε $latex x\in \mathbb{R}$ (1) είτε $latex f(x) f(x)$, για κάθε $latex x\in \mathbb{R}$, ενώ πάλι από την (1) κι επειδή $f$ φθίνουσα, παίρνουμε $latex f(f(x)) \leq f(x)$, για κάθε $latex x\in \mathbb{R}$ (ATOΠΟ). Στη δεύτερη περίπτωση εργαζόμαστα ανάλογα με τη (2) και καταλήγουμε πάλι σε άτοπο.

    
    george

  • Σχόλιο στο Διαγώνισμα ΑΣΕΠ 1 από george
    Μαρτίου 14, 2012
    
    Επιτέλους, εμφανίζεται σωστά!

    
    george

  • Σχόλιο στο Διαγώνισμα ΑΣΕΠ 1 από george
    Μαρτίου 14, 2012
    
    ΑΣΚΗΣΗ Α4. Γ (ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΕΠ) Εάν $latex f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ συνεχής χωρίς τοπικά ακρότατα στο διάστημα $latex (a,b)$. Τότε, $latex f$ μονότονη.” Απόδειξη: To κλειδί της απόδειξης είναι η παρακάτω παρατήρηση: ”Επειδή η $latex f $ δεν έχει τοπικά ακρότατα στο διάστημα $latex (a,b)$, σε κάθε κλειστό υποδιάστημα $latex [c,d]$ του $latex [a,b]$ θα λαμβάνει μέγιστο κι ελάχιστο ΜΟΝΟ στα άκρα του διαστήματος $latex [c,d]$. ” I. Ας υποθέσουμε τώρα ότι $latex f(a) \leq f(b)$. Θα δείξουμε ότι η $latex f $ είναι αύξουσα. Πράγματι, έστω $latex x, y$ με $latex a \leq x \leq y \leq b$. Υποθέτουμε αντιθέτως ότι $latex f(x) > f(y)$. Επιλέγω τυχαίο $latex t \in [x, y]$ , δηλ. $latex a \leq x \leq t \leq y \leq b$. Λόγω της παρατήρησης και με βάση τα παραπάνω παίρνουμε $latex f(a) \leq f(t) \leq f(b)$ (1) $latex f(y) \leq f(t) \leq f(x)$ (2) Πάλι από την παρατήρηση και από την (1) παίρνουμε $latex f(a) \leq f(x) \leq f(t)$ (3) Τώρα, οι (2), (3) δίνουν $latex f(t)=f(x)$ κι αυτό ισχύει για κάθε $latex t\in [x, y]$, δηλ. $latex f$ σταθερή στο διάστημα $latex [x, y]$ (ΑΤΟΠΟ). Άρα, $latex f$ αύξουσα. II. Στην περίπτωση $latex f(a) > f(b)$ εφαρμόζουμε το I για την $latex -f$ και παίρνουμε ότι $latex f$ φθίνουσα.

    
    george

  • Σχόλιο στο Διαγώνισμα ΑΣΕΠ 1 από george
    Μαρτίου 14, 2012
    
    OK THANKS

    
    george

  • Σχόλιο στο Διαγώνισμα ΑΣΕΠ 1 από george
    Μαρτίου 14, 2012
    
    $latex \frac{1}{2}$

    
    george

  • Σχόλιο στο Διαγώνισμα ΑΣΕΠ 1 από george
    Μαρτίου 14, 2012
    
    ΑΣΚΗΣΗ Α4. Γ (ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΕΠ) Εάν $ latex f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ συνεχής χωρίς τοπικά ακρότατα στο διάστημα $latex (a,b)$. Τότε, $latex f$ μονότονη.” Απόδειξη: To κλειδί της απόδειξης είναι η παρακάτω παρατήρηση: ”Επειδή η $latex f $ δεν έχει τοπικά ακρότατα, σε κάθε κλειστό υποδιάστημα $latex [c,d]$ θα λαμβάνει μέγιστο κι ελάχιστο ΜΟΝΟ στα άκρα του διαστήματος $latex [c,d]$. ” I. Ας υποθέσουμε τώρα ότι $latex f(a) \leq f(b)$. Θα δείξουμε ότι η $latex f $ είναι αύξουσα. Πράγματι, έστω $latex x, y$ με $latex a < x f(y)$. Επιλέγω τυχαίο $latex t \in [x, y]$ , δηλ. $latex a < x \leq t \leq y

    
    george